El Teorema de Bolzano y la continuidad

Reloj de mesa – © Fernando Montero

Este fin de semana (domingo 26 de marzo) nos ha tocado el cambio de hora para adaptarnos al horario de verano. Siempre es en el último domingo del mes de marzo y ese día nos toca adelantar una hora las manecillas del reloj. Por lo tanto, es el día más corto del año, porque solo tiene 23 horas.

Cambio de hora

Por el contrario, en el último domingo de octubre se realiza el proceso inverso para volver al horario de invierno. En ese caso se retrasan una hora los relojes con lo que el día tendrá 25 horas.

El tiempo se desarrolla de manera continua, pero eso no sucede siempre porque en esos dos momentos a lo largo del año se rompe esta continuidad.

Si tomamos dos momentos de un día, por ejemplo las 15 y las 16 horas, estaremos de acuerdo que en un punto intermedio serán las 15:30 horas y eso sucede para cualquier otro instante que tomemos entre esos dos momentos horarios.

El domingo 27 de marzo no ha tenido un instante en el que hayan sido las 2 horas (ni el periodo comprendido hasta las 3 horas). Si nos situamos a las 01:58 y esperamos a que pase un minuto, nuestro reloj marcará la 01:59. Sin embargo no sucederá lo mismo si dejamos pasa otro minuto completo. ¿Nos damos cuenta de que en ningún momento serán las 02:00?

Desde la 01:59 nuestro reloj irá marcando segundo a segundo el transcurso de los mismos. Sin embargo, en el último segundo de ese minuto el salto en nuestro reloj sumará una hora en nuestro reloj. Desde la hora 01:59:59 pasaremos a 3:00:00. Eso sí, suponemos que nuestro reloj tendrá un cambio de hora automático.

El teorema de Bolzano para funciones continuas nos dice:

Dada una función f(x) continua en un intervalo cerrado [a,b] que toma valores de distinto signo en sus extremos (es decir f(a)<0 y f(b)>0, o a la inversa), entonces podemos afirmar que existe un valor c dentro del intervalo abierto (a, b) de tal manera que en ese punto: f(c)=0.

Teorema de Bolzano

Como corolario de este teorema se pueden demostrar otros teoremas, como es el teorema del valor intermedio que enuncio a continuación:

Dada una función continua en un intervalo cerrado  [a,b], entonces para cada valor k cumpliendo f(a)<k<f(b), existe un punto c perteneciente al intervalo abierto (a,b) de tal manera que f(c)=k.

Teorema del valor intermedio

Definición de corolario

Un corolario (del latín corollarium) es un término que se utiliza en matemáticas para designar que es una evidencia que proviene de un teorema o de una definición ya demostrados. Por eso la demostración del mismo es tan evidente, al basarse en algo ya demostrado.

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *