El infinito

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El infinito en el logo de Arduino – © Fernando Montero

En la foto que acompaña esta entrada del blog, nos encontramos que el logotipo de Arduino incluye el símbolo del infinito (acompañado de los signos “+” y “-“), lo que me da la excusa para poder hablar sobre el tema que quiero tratar en esta ocasión.

El concepto de infinito, cuyo símbolo es ∞, aparece en las matemáticas para referirse a algo que no tiene fin, en contraposición al concepto de finito.

Este símbolo ∞ con el que se expresa el infinito fue introducido en la notación matemática por el matemático inglés John Wallis (1616-1703) en una de sus obras más importantes: Aritmética Infinitorum en el año 1656. En 1694 fue creada la representación gráfica lemniscata por Jacob Bernoulli (1655-1705).

En ocasiones podemos estar utilizando este término de manera equivocada y por eso quiero hacer algunos comentarios sobre él.

Los conjuntos finitos tienen una propiedad intuitiva que los caracteriza y es que si tomamos un subconjunto (una parte) de ese conjunto finito, contendrá un número menor que el conjunto de partida. Por contra, los conjuntos infinitos no cumplen esa propiedad, lo que nos da una primera interpretación de lo que puede significar.

Planteemos la siguiente cuestión:

Consideramos los números naturales (el conjunto de los números de contar: 1, 2, 3,…) y lo dividimos en dos subconjuntos, por un lado los pares y por otro los impares.

¿En dónde hay más números?

Podríamos pensar que si un conjunto lo repartimos en dos partes, cada una de ellas tendrá menos elementos que el total. Sin embargo, en ambos subconjuntos, pares o impares y en el conjunto de los números naturales hay la misma cantidad de elementos.

¿Cómo lo podemos explicar?

Cada uno de los números pares es múltiplo de 2, con lo que podemos escribirlos como: 2=2·1, 4=2·2, 6=2·3, 8=2·4,… es decir, cada par se obtiene multiplicando cada número natural por 2. De esta forma podemos indicar que habrá “el mismo número” de pares que de números naturales.

¿Y con los impares?

Si a cada número par le restamos una unidad, obtenemos todos los números impares, con lo que habrá “el mismo número” de pares que de impares.

Estas cuestiones están relacionadas con la propia definición de conjuntos infinitos.

Definición de conjunto infinito

El concepto de infinito nos puede llevar a distintas paradojas, que han sido tratadas por las matemáticas y la filosofía.

La paradoja de Aquiles y la Tortuga

“El corredor más lento no será nunca adelantado por el más rápido; pues es necesario que antes llegue el perseguidor al punto de donde partió el perseguido, de modo que es preciso que el más lento vaya siempre algo delante”. Aristóteles, Física Z 9 239 b 14.

Una explicación que se suele dar es que Aquiles corriendo tras la tortuga nunca le dará alcance porque cuando llegue a la llegado al punto de partida de la tortuga, ésta habrá avanzado y así de manera sucesiva.

En el siglo XVII el matemático escocés James Gregory demostró que la paradoja era falsa. Se basa en que una cantidad finita no se puede dividir en infinitas partes de tamaño finito. Parece complicado de entender, pero si te paras a pensarlo lo podrás comprender de manera clara.

Piensa en una hora de tiempo y divídela por la mitad y así de manera sucesiva. Podemos pensar que se puede dividir tantas veces como queramos (infinitas veces), pero tanto el tiempo como el espacio son finitos y no podemos dividirlos de manera infinita, teniendo cada una de sus partes un tamaño que podamos medir.

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